\( \sec^4(x) \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \sec^4 x \, dx \]

将被积函数 \( \sec^4 x \) 写成乘积形式 \( \sec^2 x \sec^2 x \)：

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx \]

使用三角恒等式 \( \sec^2 x = \tan^2 x + 1 \) 将积分改写为：

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int (\tan^2 x + 1) \sec^2 x \, dx \]

展开被积函数并将积分写成多个积分的和：

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx + \int \sec^2 x \, dx \]

使用换元积分法：令 \( u = \tan x \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) 或 \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \)。代入后得：

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du + \int \sec^2 x \, dx \]

化简表达式：

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \, du + \int \sec^2 x \, dx \]

利用标准积分公式 \( \displaystyle \int u^2 \, du = \dfrac{1}{3} u^3 \) 以及常见积分 \( \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \) 进行计算：

\[ \int \sec^4 x \, dx = \dfrac{1}{3} u^3 + \tan x + c \]

其中 \( c \) 为积分常数。

代回 \( u = \tan x \) 得到最终答案：